Задача оптимизации портфеля
Для того чтобы составить эффективный портфель, необходимо найти точку касания границы эффективности с кривой безразличия инвестора (рис. 11.12). Предположим, инвестор намечает иметь в портфеле N определенных ценных бумаг. Ему необходимы характеристики этих бумаг, т.е. ожидаемые доходности Еi риск σi , и знать или вычислить коэффициенты корреляции rij между всеми парами выбранных бумаг. Для удобства дальнейшего описания будем пользоваться ковариациями Сij = ρij σi σj . В сумме необходимо найти N + N2 величин.
Далее, перейдем от системы координат (Е,σ ) к системе координат (Е, V), В наших осях парабола, характеризующая кривую безразличия инвестора, будет выглядеть прямой.
Запишем уравнение для семейства прямых безразличия в виде:
Здесь λ — наклон прямых, α — параметр. Стремясь достичь максимальной полезности, инвестор окажется на прямой с минимально возможным значением α. Следовательно, перед инвестором стоит задача найти такие Xi, при которых минимально
при условии
для всех λ > 0. Надо сказать, что Xi могут принимать любые значения в интервале (-∞, +∞). Отрицательная величина Xi означает, что ценные бумаги с соответствующими характеристиками нужно не покупать, а продавать. Будем искать решение для Хi в виде Xi = Кi + kiλ. Тогда, решив задачу однажды, можно, меняя рисковые предпочтения, подбирать нужный портфель (рис. 11.13). Например, инвестор хочет создать портфель из трех бумаг. В результате решения он получит такую, например, картину:
Выбрав цену риска, соответствующую λ*, инвестор получит эффективный портфель, отвечающий его готовности рисковать ради получения дохода. Тогда
Эту систему необходимо решить дважды. Сначала принять λ = 0, тогда получится Ki , будет описан портфель с минимальной вариацией, а затем решить эту же систему, задав, например, λ = 1. Тогда получим ki ,и задача решена для любых X.
Рассмотрим пример. Пусть инвестор хочет создать портфель из трех акций, имеющих следующие характеристики:
- ожидаемые доходности — 20%, 30% и 40%;
- стандартные отклонения — 20%, 40% и 50% соответственно;
- коэффициенты корреляции —
Получим систему уравнений:
Приняв λ = 0 и решив систему уравнений, получим Кi. Положив λ = 1 и решив эту же систему уравнений второй раз, вычислим ki . В результате получим:
Графически решение дано на рисунке 11.14
Пусть на рынке есть безрисковые бумаги с Е1 = 10% и, конечно, σ1 = 0. Тогда, если составить портфель из безрисковой ценной бумаги и первых двух из предыдущего портфеля, получим систему уравнений:
Повторив уже описанную процедуру, получим следующее решение:
Обратите внимание на то, что для рискованных ценных бумаг К = 0. Это общее свойство решения системы уравнений при наличии в портфеле безрисковой ценной бумаги.
- Оформление отчета по практике по ГОСТу 2021/2022
- Оформление ВКР по ГОСТу
- Как составить бизнес-план своими силами
- Оформление эссе по ГОСТу
- Оформление презентации по ГОСТу
- Оформление статьи по ГОСТу
- Оформление дипломной работы по ГОСТ 2021/2022
- Оформление курсовой работы по ГОСТу
- Оформление контрольной работы по ГОСТу